Kako istražiti i izgraditi grafikon funkcije?

Danas predlažemo da zajedno s nama istražujemo ikonstruirati graf funkcije. Nakon pažljivog proučavanja ovog članka, ne morate se dugo znojiti za obavljanje takvog zadatka. Nije lako istražiti i konstruirati grafikon funkcije, rad je opsežan, zahtijeva maksimalnu pažnju i točnost izračuna. Kako bismo olakšali percepciju materijala, postupno ćemo proučiti istu funkciju, objasniti sve naše postupke i izračune. Dobrodošli u prekrasan i fascinantan svijet matematike! Idemo!

Domena definicije

Da biste istražili i konstruirali grafikonmorate znati nekoliko definicija. Funkcija je jedan od osnovnih (matematičkih) pojmova u matematici. Odražava odnos između nekoliko varijabli (dva, tri ili više) s promjenama. Funkcija također pokazuje ovisnost setova.

Zamislite da imamo dvije varijable,koji imaju određeni raspon varijacija. Dakle, y je funkcija x, pod uvjetom da svaka vrijednost druge varijable odgovara jednoj vrijednosti druge. Štoviše, varijabla y ovisi, a nazivamo funkcijom. Uobičajeno je reći da su varijable x i y u funkcionalnom odnosu. Radi veće jasnoće ove ovisnosti, građen je grafikon funkcije. Što je grafikon funkcije? Ovo je skup točaka na koordinatnoj ravnini, gdje svaku vrijednost x odgovara jednoj vrijednosti y. Grafovi mogu biti različiti - ravna crta, hiperbola, parabola, sinusoid i tako dalje.

Grafikon funkcije ne može se graditi bezistraživanja. Danas ćemo naučiti provesti studiju i konstruirati grafikon funkcije. Vrlo je važno napisati bilješke o koordinatnoj ravnini tijekom ankete. Zato će se nositi s tim zadatkom puno lakše. Najprikladniji plan studija:

1. Opseg definicije.
2. Kontinuitet.
3. Paritet ili neobičnost.
4. Periodičnost.
5. Asimptota.
6. Nula.
7. Znak trajnosti.
8. Uzlazno i ​​silazno.
9. Krajnosti.
10. Konveksnost i konkavnost.

Počnimo s prvim odlomkom.Pronašli smo domenu definicije, tj. Na kojim intervalima postoji funkcija: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36). U našem slučaju, funkcija postoji za sve vrijednosti x, to jest, domenu definicije R. To se može zapisati na sljedeći način xVR.

neprekidnost

Sad ćemo istražiti funkcijujaz. U matematici je pojam "kontinuitet" nastao kao rezultat proučavanja zakona gibanja. Što je beskrajno? Prostor, vrijeme, neke ovisnosti (primjer je ovisnost varijabli S i t u problemima pokreta), temperatura objekta koji se zagrijava (voda, tava, termometar itd.), Kontinuiranu liniju (tj. olovka).

Kontinuirano se smatra rasporedom koji nijerastrgan u nekom trenutku. Jedan od najvažnijih primjera takve grafike je sinusni val, koji možete vidjeti na slici u ovom odjeljku. Funkcija je kontinuirana u nekoj točki x0 ako su ispunjeni brojni uvjeti:

• u toj se fazi definira funkcija;
• desne i lijeve granice na točki su jednake;
• granica je jednaka vrijednosti funkcije na x0.

Ako se ne promatra najmanje jedan uvjet,da je funkcija razbijena. A točke na kojima funkcija prekida nazivaju se točke loma. Primjer funkcije koja će se "slomiti" tijekom grafičkog prikaza je: y = (x + 4) / (x-3). Štoviše, y ne postoji kod x = 3 (jer je nemoguće podijeliti s nulom).

U funkciji koju istražujemo (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) sve se pokazalo jednostavno jer će grafikon biti kontinuiran.

Paritet, čudnoća

Sada proučite funkciju pariteta. Prvo, malo teorija. Čak se naziva funkcija koja zadovoljava uvjet f (-x) = f (x) za bilo koju vrijednost varijable x (iz raspona vrijednosti). Primjeri uključuju:

• modul x (grafikon izgleda kao daw, simetrala prvog i drugog kvartala grafikona);
• x kvadrat (parabola);
• kosinus x (cosinusoid).

Imajte na umu da su svi ti grafikoni simetrični, ako ih smatramo u odnosu na os ordinata (tj. Y).

Što se tada zove neobična funkcija? To su one funkcije koje zadovoljavaju uvjet: f (-x) = - f (x) za bilo koju vrijednost varijable x. primjeri:

• hiperbola;
• kubična parabola;
• sinusni val;
• tangensoid i tako dalje.

Imajte na umu da ove funkcije imajusimetrija oko točke (0: 0), to jest, podrijetlo. Na temelju onoga što je navedeno u ovom odjeljku članka, jednake i neparne funkcije moraju imati svojstvo: x pripada skupu definicija i -x previše.

Ispitajte funkciju pariteta. Možemo vidjeti da se ne uklapa ni u jedan od opisa. Dakle, naša funkcija nije ni parna ni čudna.

asimptota

Počnimo s definicijom. Asimptota je krivulja koja je što bliže grafu, tj. Udaljenost od određene točke teži nuli. Ukupno postoje tri vrste asimptota:

• okomito, tj. paralelno s y osi;
• vodoravno, tj. paralelno s x osi;
• skloni.

Što se tiče prvog tipa, podatkovne linije treba pretraživati ​​u nekim točkama:

• razbiti;
• kraj domene.

U našem slučaju, funkcija je kontinuirana, a domena definicije je R. Dakle, nema vertikalnih asimptota.

Horizontalna asimptota ima graf funkcije,koji zadovoljava sljedeći uvjet: ako x ide u beskonačnost ili minus beskonačnost, a granica je neki broj (na primjer, a). U ovom slučaju, y = a - to je horizontalna asimptota. U funkciji koju proučavamo nema horizontalnih asimptota.

Kosa asimptota postoji samo ako su zadovoljena dva uvjeta:

• lim (f (x)) / x = k;
• lim f (x) -kx = b.

Tada se može pronaći po formuli: y = kx + b. Opet, u našem slučaju nema kosih asimptota.

Funkcijske nule

Sljedeći korak koji trebamo istražitifunkcija graf za nule. Vrlo je važno napomenuti da se zadatak vezan uz pronalaženje nule funkcije susreće ne samo u proučavanju i konstruiranju grafova funkcije, već i kao samostalni zadatak i kao način rješavanja nejednakosti. Možda ćete morati pronaći nule funkcije na grafikonu ili koristiti matematičku notaciju.

Pronalaženje tih vrijednosti pomoći će vam višetočno nacrtajte funkciju. Jednostavno rečeno, nula funkcije je vrijednost varijable x, za koju je y = 0. Ako tražite grafove funkcijske nule, obratite pozornost na točke gdje se grafikon siječe s osi x.

Da bi pronašli nule funkcije, potrebno je riješiti sljedeću jednadžbu: y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) = 0. Nakon provođenja potrebnih izračuna dobivamo sljedeći odgovor:

• x = 1;
• 4;
• 9.

Preporučljivo je odmah označiti točke pronađene na grafikonu.

prijava postojanost

Sljedeća faza istraživanja i izgradnje funkcije(grafika) - ovaj interval pronalaženja dosljednosti. To znači da moramo odrediti u kojim intervalima funkcija poprima pozitivnu vrijednost, au kojim intervalima - negativna. Funkcije pronađene u posljednjem odjeljku pomoći će nam. Dakle, trebamo izgraditi ravnu liniju (odvojeno od grafikona) i ispravnim redoslijedom raspodijeliti nule funkcije od manjeg prema većem u ispravnom redoslijedu. Sada je potrebno odrediti koji od nastalih praznina ima znak "+", a koji "-".

U našem slučaju, funkcija uzima pozitivnu vrijednost u intervalima:

• od 1 do 4;
• od 9 do beskonačnosti.

Negativna vrijednost:

• od minus beskonačnosti do 1;
• od 4 do 9.

To je lako odrediti. U funkciju zamijenite bilo koji broj iz intervala i pogledajte s kojim znakom je odgovor (minus ili plus).

Povećanje i smanjenje funkcije

Da bismo istražili i izgradili funkciju, moramo znati gdje će grafikon rasti (ići uz koordinatnu liniju Oy), i gdje će pasti (puzati po y-osi).

Funkcija se povećava samo akoveća vrijednost varijable x odgovara većoj vrijednosti y. To jest, x2 je veći od x1, a f (x2) je veći od f (x1). I vidimo posve suprotnu pojavu u opadajućoj funkciji (što je više x, to manje y). Za određivanje intervala uspona i spuštanja potrebno je pronaći sljedeće:

• opseg (već smo);
• derivativ (u našem slučaju: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
• riješiti jednadžbu 1/3 (3x ^ 2-28x + 49) = 0.

Nakon izračuna dobijemo rezultat:

• 7/3;
• 7.

Dobivamo: funkcija se povećava u intervalima od minus beskonačnosti do 7/3 i od 7 do beskonačnosti, a smanjuje se na intervalu od 7/3 do 7.

ekstremi

Ispitivana funkcija y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)je kontinuirana i postoji za bilo koju vrijednost varijable x. Ekstremna točka pokazuje maksimum i minimum ove funkcije. U našem slučaju, oni nisu dostupni, što uvelike pojednostavljuje zadatak izgradnje. Inače, ekstremne točke se također pronalaze pomoću izvedenice funkcije. Nakon pronalaženja ne zaboravite ih označiti na grafikonu.

Konveksnost i konkavnost

Nastavljamo istraživati ​​funkciju y (x). Sada ga moramo provjeriti za izbočinu i konkavnost. Definicije ovih pojmova su dovoljno teške da ih se shvati, bolje je analizirati sve s primjerima. Za test: funkcija je konveksna ako je neodređeni integralni dio funkcije koja se ne smanjuje. Slažem se, nije jasno!

Moramo pronaći derivat druge funkcije.red. Dobivamo: y = 1/3 (6x-28). Sada izjednačavamo desnu stranu s nulom i rješavamo jednadžbu. Odgovor je x = 14/3. Pronašli smo točku infleksije, to jest mjesto gdje grafikon mijenja izbočinu u konkavnost ili obrnuto. U intervalu od minus beskonačnosti do 14/3, funkcija je konveksna, a od 14/3 do plus beskonačnost je konkavna. Vrlo je važno napomenuti da točka infleksije na grafikonu treba biti glatka i meka, da ne bi trebalo biti prisutnih oštrih kutova.

Definiranje dodatnih točaka

Naš je zadatak istražiti i zapletati.funkcija. Završili smo studiju, a sada nije teško planirati funkciju. Za točniju i detaljniju reprodukciju krivulje ili crte na koordinatnoj ravnini možete pronaći nekoliko pomoćnih točaka. Jednostavno ih je izračunati. Primjerice, uzmemo x = 3, riješimo dobivenu jednadžbu i pronađemo y = 4. Ili x = 5 i y = -5, i tako dalje. Dodatne točke možete uzeti koliko god trebate za izgradnju. Pronađeno je najmanje 3-5.

kovanje zavjere

Trebali smo istražiti funkciju(x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36) * 1/3 = y. Sve potrebne oznake tijekom izračunavanja označene su na koordinatnoj ravnini. Sve što preostaje je napraviti grafikon, to jest, povezati sve točke zajedno. Spojite točkice glatko i uredno, to je stvar vještine - malo vježbe i vaš raspored će biti savršen.

</ p>>